הסודות של וגאס

כמה פעמים קראתם/שמעתם/צפיתם בסיפורים על אדם שנכנס לקזינו בתקווה להרוויח סכום כסף משמעותי שישמש למטרות מכמירות לב - הגירה מעולם שלישי למדינה מערבית, טיפול רפואי מציל חיים וכולי? אני מפקפק בסיפורים האלה ומניח שאנשים שנכנסים לקזינו עושים זאת למטרות הנאה (גם אם היא נובעת מהתמכרות), אבל יהיו המניעים אשר יהיו, על רצונם העז של כל השחקנים להרוויח אי-אפשר להתווכח. איך מנצחים את הבית? מהי האסטרטגיה הטובה ביותר? למה בכלל הכוונה במילים "האסטרטגיה הטובה ביותר"? בואו ננסה לנתח את הימורי הרולטה.

התנ"ך של הימורי רולטה הוא ספר שכבר שמו הוא סוג של המלצה: "כיצד להמר אם אתם מוכרחים" (How to Gamble if You Must) פרי עטם של דובינס (Dubbins) וסבג' (Savage). אם התלהבתם מהשם ואתם מתכוונים לרכוש אותו לפני נסיעתכם הבאה ללאס וגאס, הרשו לי להמליץ לכם להירגע ולוותר; תוכנו של הספר מסובך להפליא אפילו עבור בוגרי תואר במתמטיקה*. בהוצאה כנראה הבינו את זה, ועל מנת לא להטעות את ציבור הקוראים שונה שמו ל"אי-שוויונים עבור תהליכים סטוכסטיים", בעוד השם המקורי נדחק לאותיות קטנות. כך או אחרת, מילות המפתח הן, כמובן, if you must. הרי אמת ידועה היא שהימורים הם מס נוסף על אלה שאינם יודעים מתמטיקה. מן הסתם לכל קורא ברור שלא במקרה יזמים מקימים בתי קזינו, מטיסים אליהם אנשים, מאכילים אותם במטעמי גורמה ומארגנים להם מופעים יקרים. האם את כל זה הם עושים רק כדי שאזרחים תמימים ירוויחו כסף? נראה שלא.

ואם בכל זאת חייבים

בואו נדמיין אדם שבכיסו 4 דולרים, והוא מוכרח להגיע ל-10 דולרים (אם אתם חייבים סיפור מסגרת קורע לב אז בתחילת הערב היו לאיש עשרת אלפים דולרים, והוא הפסיד הכול, פרט ל-4. 10 דולרים הם מחיר נסיעתו הביתה). כלומר, הוא לא יפרוש מן המשחק עד שיהיו לו 10 דולרים, אלא אם כן יפסיד את כל כספו ואז ייאלץ ללכת הביתה ברגל, בקור מקפיא ובגשם שוטף. והנה הוא עומד לפני שולחן הרולטה על מנת לנסות את מזלו. איך הוא אמור לשחק?

באופן מפתיע אוכל להסביר אינטואיטיבית מהי האסטרטגיה האופטימלית שתביא למקסימום את הסיכוי להגיע ל-10 דולרים. כדי לפשט את ההסבר אציג בקצרה בעיה פשוטה, שתשפוך אור על פתרון בעיית הרולטה.

נניח שאני עומד לשחק עכשיו מול מייקל ג'ורדן בזריקות כדור לסל. בזמן כתיבת שורות אלה שנינו איננו שחקנים פעילים ב-NBA ולכן יש לנו זמן בשפע. בטוח בניצחונו, מציע ג'ורדן שאבחר עד לאיזו תוצאה נשחק. מה הייתם מציעים? אני מקווה שהתשובה ברורה. הפתרון הטוב ביותר מבחינתי הוא ביטול פתאומי של ההתמודדות והכרזה על תיקו. הפתרון השני בטיבו הוא לשחק עד לתוצאה של נקודה אחת בלבד. הרי יכול לקרות נס גדול, אני אזרוק והכדור יעשה עמי חסד וינחת בסל, ומייקל ג'ורדן יזרוק ולא יקלע (קורה במשפחות הטובות ביותר). במקרה כזה אוכל לכתוב בקורות חיי שהייתי בעל הטור היחיד בעולם שניצח בכדורסל את מייקל ג'ורדן. אם, לעומת זאת, אשחק נגדו עד שתיים או שלוש נקודות, הסיכוי שאנצח הופך לנמוך באופן מדכא, ואם המשחק יימשך מעבר לכך ברור לחלוטין שלא אנצח. יש אפילו חוק בתורת ההסתברות שאומר (אם נצטט אותו בערך) שבטווח הרחוק הצפוי יהיה המצוי. כשהמשחק הוא על נקודה אחת אני יכול לפחות לפנטז על האפשרות לנצח את מייקל ג'ורדן (או לפחות את מיכאל ירדן).

חזרה לקזינו. כל מי שניגש אי-פעם לשולחן הרולטה שם לב לכך שבין כל המספרים יש גם אפסים, והם-הם שמטים את הכף לטובת הקזינו והופכים את המשחק ל"לא שוויוני". כלומר, במובן האיכותי המשחק נגד הקזינו דומה למדי למשחק נגד מייקל ג'ורדן. הקזינו הוא השחקן הטוב יותר, אם בכלל ניתן לראות בו שחקן, ולפיכך כדאי להמר מספר פעמים קטן ככל האפשר.

ואכן, אפשר להוכיח באופן מתמטי ומדויק לחלוטין שהאסטרטגיה הטובה ביותר, זאת שתביא למקסימום את הסיכוי להגיע מ-4 דולרים ל-10 דולרים, היא לשים את כל הכסף על צבע כלשהו; ואסביר. יש לכם 4 דולרים? שימו את ארבעתם, למשל על צבע אדום.

ייתכן, כמובן, שהצבע שעליו הימרתם לא יעלה בגורל, ואז פשוט הולכים הביתה ברגל. אבל אם הצבע שעליו הימרנו זכה, הרווחנו 4, ויש לנו כעת 8 דולרים. כשיש 8 דולרים אין שום סיבה לשים אותם במלואם, כיוון שאנחנו רוצים להגיע בסך-הכול ל-10 דולרים, ואנחנו יכולים להמר רק על הסכום שאחרי ניצחון יכניס לנו 2 דולרים. כלומר, האסטרטגיה האופטימלית, הנקראת בספר "המשחק הנועז", כלומר, האסטרטגיה האופטימלית, היא לשים או את כל הכסף, או כמה שצריך, על מנת להגיע ל-10דולרים. האסטרטגיה הזו נראית קצת מוזרה, כי רוב האנשים חושבים, "אולי כדאי לשים דולר, ועוד פעם דולר, אולי שניים". לא. "המשחק הנועז" הוא הכי טוב מהסיבה שציינתי: כשאתה השחקן הפחות טוב עליך לשחק כמה שפחות משחקים.

אם, לעומת זאת, המטרה שלכם היא זמן איכות בין כותלי הקזינו המפואר, המשחק הנועז אינו רעיון טוב במיוחד. במקרה כזה הוא עלול לשגר אתכם חזרה הביתה כבר אחרי הסיבוב הראשון של הרולטה. אם חפצתם בבילוי ארוך, אז המלצתי היא על "משחק זהיר" - להמר בכל סיבוב על דולר בודד. שיטה זו אינה הברקה אסטרטגית, אך יעילה ביותר לבזבוז זמן וכסף.

ההבדלים בין משחק נועז לזהיר קיימים, כמובן, בתחומים רבים ומגוונים בחיים ולא רק על יד שולחן הרולטה. אתם מוזמנים לחשוב אפילו על סוגיית הגרעין האירני כמקרה מבחן מעניין. ועל הרקע הזה אפשר לסיים עם אמירה של המדינאי הבריטי בן המאה ה-19, בנג'מין ד'יזראלי: אי אפשר לחצות תהום בשתי קפיצות קטנות.

הכותב הוא דקטור למתמטיקה ולהוראת המדעים ומומחה לתורת המשחקים