מה שוות פרשנויות בתחום הספורט, הפוליטיקה והכלכלה?

מכיוון שהעבר נראה לנו הגיוני, נוצרת האשליה כי אין זו בעיה גדולה כל-כך לנבא את העתיד. זו טעות

כנראה שיש לאנשים דחף עמוק להתנבא ושום דבר לא יעצור אותם - לא המימרות הידועות בנושא, לא אחוז הטעויות הגבוה בנבואותיהם ואפילו לא הגיחוך שבמעמד.

באליפות אירופה בכדורגל שמתקיימת עכשיו זיהיתי דחף אנושי נוסף לתחזיות המבוססות על מידע מועט ביותר. לאחר הניצחון המוחץ של רוסיה על צ'כיה במחזור הפתיחה הגדירו פרשנים רבים את רוסיה כמועמדת לזכייה ואת הצ'כים כבשר תותחים. עברו כמה ימים והתברר כי הצ'כים הם תותחים (לפחות לכמה ימים) בעוד נבחרתו של פוטין חוזרת הביתה מבוישת. האם הפרשנים שהחמיצו החמצה כה גסה נטלו על עצמם את נדר השתיקה? כמובן שלא.

האם אתם זוכרים שאת אליפות העולם הקודמת פתחה נבחרת ספרד בהפסד מפתיע לשוויץ? עיתונאים ופרשנים דאגו אז להסביר בדעתנות למה אוסף כוכבים לא הופך לנבחרת, וגם שהספרדים הגיעו לא מוכנים. אני מקווה שאתם זוכרים שספרד סיימה את הטורניר כאלופת העולם.

בגמר ליגת האלופות ב-2005 (הגמר ה-50 בעידן המודרני) הובילה מילאן 3:0 במחצית על ליברפול. הפרשנים מיד הסבירו כי זו קבוצת כדורגל מושלמת וכי ליברפול לא נמצאת כלל באותה הליגה. לאחר המחצית חל מהפך מדהים וליברפול, שצמצמה פער של ליגה שלמה, זכתה בתואר.

היופי של כדורגל הוא חוסר יכולתנו לנבא את התוצאה. הכדור עגול, הדשא שטוח, משחקים תשעים דקות והפרשן יודע לא יותר מאוהד מן השורה. את ההוכחה הניצחת לאוסף הקלישאות הזה אפשר בכלל לסכם בשאלה פשוטה: כמה פרשנים זכו עד היום בטוטו?

גם בפוליטיקה

דבר מה דומה מתרחש גם בכלכלה ובפוליטיקה. נאסים ניקולס טאלב, פילוסוף וסוחר ניירות ערך, מסביר בספרו "הברבור השחור" (הוצאת דביר, 2007) כי הכול מורכב יותר ממה שנדמה לנו; דברים בלתי צפויים לחלוטין הכרחי שיקרו לעיתים, טוען טאלב, והתובנות שלנו הן תובנות בדיעבד. עוד טענה חשובה שלו היא שאנשים נותנים יותר מדי קרדיט למי שנחשבים לברי סמכה בתחומים שונים ומתרשמים יתר על מידה מתארים אקדמיים. דוגמה? המהלך של שאול מופז להצטרפות לקואליציה. אף פרשן לא ניבא את מה שהיה מהלך כמעט טריוויאלי.

ומכיוון שהעבר נראה לנו הגיוני, נוצרת האשליה כי אין זו בעיה גדולה כל-כך לנבא את העתיד. זו טעות.

הפילוסוף הבריטי ברטרן ראסל (שבין היתר זכה בפרס נובל לספרות) אהב לספר על תרנגול הודו אשר כבר ימים רבים רואה אנשים שבאים אליו יום יום ומביאים לו מזון. כמומחה לניבוי, התרנגול מעריך שגם מחר וגם במאה השנים הקרובות הוא ימשיך לקבל את מזונו. מה שהוא לא יודע זה שמחר חג ההודיה.

אם אתם קוראים נאמנים של הטור שלי, אז אתם לבטח יודעים את דעתי, שאותה ביטא יפה הכלכלן הדגול ג'ון קנט גלבריית: "העוסקים בניבוי מתחלקים לשתי קבוצות, אלה שאינם יודעים ואלה שאינם יודעים שאינם יודעים" (אגב, גלבריית זכה פעמיים במדליית החירות, שבה זכה השבוע הנשיא פרס).

נחזור למשחקים. עם כל הכבוד לכדורגל - ויש כבוד - אני רוצה להציג לכם את "משחק הגלדיאטורים" וחידה שתתלווה אליו. משחק זה הוא אחד המשחקים האהובים עליי ביותר ואני נוהג להציגו לסטודנטים כאשר אני מעביר קורסים ב"תורת ההסתברות" או ב"תורת המשחקים"*.

החידה אינה פשוטה עבור מי שלא למד מתמטיקה, אך כל אחד מוזמן לנסות. חובבי מתמטיקה אמיתיים מוזמנים להתחרות בהמצאת פתרונות קצרים במיוחד. וזהו המשחק: נצייר בדמיוננו שתי קבוצות של גלדיאטורים - קבוצה A שאותה מאמן מקסימוס וקבוצה B שאותה מכין לתחרות קומודוס. נניח, לשם המחשה, שבקבוצה A יש 20 גלדיאטורים ובקבוצה B יש 30 גלדיאטורים. לכל גלדיאטור יש מספר במספרים שלמים וחיוביים - 100, 140, 200, 80, 210.

המספר הוא נתון כלשהו שמציין את כוחו - נאמר מספר הקילוגרמים שהגלדיאטור מסוגל להרים או משהו בדומה לזה. הגלדיאטורים נאבקים זה בזה בזוגות. הסתברויות הניצחון הן אלה: אם נלחם גלדיאטור שכוחו הוא 100 מול גלדיאטור שכוחו 150, אז הסיכוי שלו לנצח שווה ל-100 חלקי 250 (שזה סך העוצמה של השניים - 100 150) . ההיגיון בכך הוא שלגלדיאטור חזק יותר נותנים סיכוי גדול יותר לנצח. אם שני הגלדיאטורים בעלי אותו כוח, למשל, 100 ו-100, אז הסיכוי של כל אחד מהם לנצח הוא כמובן חצי. ככל שהפערים ביניהם גדולים יותר, כך גדל הסיכוי של החזק לנצח.

התחרות נערכת באופן הבא: תפקידם של מאמני הקבוצות הוא להחליט לפי איזה סדר הם ישלחו את הגלדיאטורים לזירה. למשל, לשלוח את החזק ביותר ראשון, או אולי להפך. לפי חוקי המשחק הגלדיאטור שמנצח חוזר לסוף התור, כלומר בלתי אפשרי שהחזק ביותר יילחם בכל הקרבות. הגלדיאטור המנצח נשאר עם הכוח שהיה לו ומתווסף אליו כוחו של הגלדיאטור שאותו ניצח (גלדיאטור בעל כוח של 100, אשר ניצח גלדיאטור בעל כוח של 120, כוחו יעודכן ל-220) ואילו הגלדיאטור שהפסיד פשוט יוצא מן הזירה. הקרב בין הקבוצות נמשך עד שלא נשארים עוד גלדיאטורים באחת הקבוצות - זו, כמובן, הקבוצה המפסידה.

השאלה הנשאלת בחידה היא מה תהיה האסטרטגיה הטובה ביותר, כלומר לפי איזה סדר על המאמנים להכניס את הגלדיאטורים לזירה על מנת להביא למקסימום את סיכויי קבוצתם לניצחון. ברור כי למאמנים אין שום ידיעה על בחירות המאמן היריב. נסו לחשוב על התשובה לפני המשך הקריאה.

התשובה לחידה מפתיעה למדי. מתברר כי לא צריך מאמן בכלל. סדר כניסת הגלדיאטורים לזירה לא משנה כלל. הסיכוי של כל קבוצה לנצח אינו תלוי בסדר הגלדיאטורים, אלא בסך הכוחות של הקבוצה. הסיכוי של קבוצה A לנצח שווה לסך כל הכוחות של הגלדיאטורים בקבוצה זו, חלקי סך כל הכוחות של הגלדיאטורים בשתי הקבוצות (למי שאינו מתמטיקאי כדאי להתחיל בקבוצה של גלדיאטור בודד הנלחם בקבוצה של שני גלדיאטורים לפני שיתקדם הלאה).

את החידה ראיתי לראשונה במאמר:

Szekely, G. J. (1986)*Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Reidel

הכותב הוא דוקטור למתמטיקה ולהוראת המדעים ומומחה לתורת המשחקים

צרו איתנו קשר *5988