משחקי מלחמה: האם ניצחנו או הפסדנו ב"עמוד ענן"?

1. בתורת המשחקים "משחק סכום אפס" מוגדר כסיטואציה שבה הרווחים של שחקן אחד מתאזנים במדויק עם הפסדיו של שחקן אחר; חלוקת עוגה, קרב אגרוף, פוקר או משחק שחמט יכולים לשמש כדוגמאות טובות. המתמטיקאי ההונגרי הדגול ומייסד תורת המשחקים ג'ון פון נוימן חקר משחקים מהסוג הזה מפני שחשב שהם שכיחים למדי. הגישה כיום שונה לגמרי: אנו יודעים כי רוב הסיטואציות בחיים אינן משחקי סכום אפס. אפילו תהליך של גירושין אינו משחק סכום אפס, שהרי ברור לגמרי כי תהליך ארוך ומכאיב שבו מעורבים עורכי דין יקרים, יקטין את סכום המריבה באופן משמעותי, מאבקים מרים יגררו מימון פסיכולוגים עבור הילדים וכולי. בקיצור, שני הצדדים עומדים להפסיד אם יטעו ויראו את מצבם כ"משחק סכום אפס".

מלחמות בעת העתיקה היו משחקי סכום אפס. עם הזמן השתנו הדברים, והמצב כיום הוא שלא רק שהמלחמות אינן משחקי סכום אפס, אלא שלעתים כלל לא ניתן לדעת (לפחות לא בטווח הקצר) מי ניצח ומי הפסיד. אם במלחמת העולם השנייה היה ברור שהרוסים ניצחו כאשר יגורוב וקנטריה הניפו את הדגל האדום על גגו של הרייכסטאג, במלחמות שמנהלת ישראל הניצחונות או ההפסדים הם תמיד יחסיים, ולרוב מתבררים רק לאחר שנים לא מעטות. "עמוד ענן", למשל, הוכיח כי בניגוד למה שסברו פרשנים רבים (במיוחד במדינתנו) צה"ל ניצח במלחמת לבנון השנייה. ולראיה: נסראללה לא ירה אפילו ברוגטקה. זה נקרא הרתעה. האם השגנו הרתעה במבצע האחרון? רק הימים והמצבים שאליהם ניקלע בעתיד (אני מקווה הרחוק) יספקו את התשובה.

2. בתורת המשחקים איתות כלשהו נחשב לאמין רק אם הוא גורם לעלויות לצד המאותת. חברה מסחרית, למשל, מאותתת על טיב מוצריה על-ידי הרחבת האחריות לשנים רבות; צבי מזן תומסון, הקופץ גבוה באוויר על מנת לחשוף בפני התוקף את יכולותיו האתלטיות, מאבד זמן בריחה יקר; משרדים בבניין יוקרה אמורים לאותת על מצבה הכלכלי האיתן של חברה. דוגמה יוצאת דופן אחרת היא התיאוריה של מייקל ספנס - שזכה בפרס לנובל לכלכלה - שלפיה, בין היתר, תואר אקדמי הנו איתות על יכולות ועל רצינות, ואתם מוזמנים להמשיך בדוגמאות.

ידיד שלי טוען שגיוס עשרות אלפי חיילים והצבתם על גבול עזה היו איתות סרק, אשר גרם נזק גדול ליכולות ההרתעה שלנו. לדעתי, גם כאן העניינים מורכבים יותר. ייתכן שהחמאס דווקא כן התרשם מן הגיוס הרחב ובלעדיו לא היה ניתן להגיע להסכם על הפסקת האש.

איום הוא קרוב משפחתו של איתות. איומי סרק אינם תורמים דבר לשחקן המכריז עליהם. זה עתה סיימנו את המבצע בעזה, וכבר שמעתי חבר כנסת מן הליכוד מאיים על החמאס בכך שטיל אחד שייפול עלינו יגרום לחיסולו של הארגון. מזכיר נשכחות, לא? כאשר יצאנו מעזה הודענו שאם יירו עלינו משם כדור אחד, לא תהיה יותר עזה. הצד שמנגד נבהל נורא, ואכן לא ירה אף כדור אלא רק רקטות. איומי סרק מקומם במשחקים בין ילדים.

במקורותינו כתוב "בתחבולות עשה לך מלחמה"; נסיעתם של ביבי וברק לצפון טרם חיסולו של אחמד ג'עברי היא דוגמה עדכנית לכך.

3. כך או אחרת, אני מעדיף לחקור משחקי מלחמה תיאורטיים על-פני ניתוח מלחמות אמיתיות. אחד המשחקים החביבים עליי נקרא Colonel Blotto's Game, ואלה חוקיו: לגנרל אנגלי ולגנרל צרפתי יש שישה גדודים לכל אחד (אני מרחיק את הלוחמה מאזורנו). הם נלחמים בשלוש חזיתות A, B, C. עליהם להחליט כמה גדודים לשלוח לכל חזית; מי שישלח יותר גדודים ינצח בחזית זאת ויזכה בנקודה. במקרה של שוויון כל גנרל יזכה בחצי נקודה. הגנרל שיצבור את מרב הנקודות ניצח במלחמה.

קל לראות שאם חייבים לשלוח לפחות גדוד אחד לכל חזית, מיקומם של שני גדודים לכל חזית על-ידי שני הגנרלים יהיה נקודת שיווי משקל נאש (אוסף אסטרטגיות מכונה "נקודת שיווי משקל נאש" אם אף שחקן אינו מצטער בדיעבד על האסטרטגיה שאותה נקט). גם חלוקת הגדודים ל-1,2,3 תייצר שיווי משקל נאש. אם, לעומת זאת, מותר לגנרל לוותר מראש על חזית, אז אסטרטגיית 3,3,0 תנצח את 2,2,2. אגב, קל להשתכנע שפיזור אחיד של גדודים אינו רעיון מבריק במיוחד גם במקרה שאסור לוותר על אף חזית. למשל, אם יש חמש חזיתות ולכל גנרל יש 25 גדודים, אז האסטרטגיה של 5,5,5,5,5 תחטוף מפלה קשה מאסטרטגיית 6,6,6,6,1.

המתמטיקאי אמיל בורל הציג את המשחק הזה (דרך אגב, זהו משחק סכום אפס, שניתן להפוך אותו בקלות למשחק שאינו סכום אפס על-ידי החלטה שבמקרה של שוויון כוחות בחזית מסוימת שני השחקנים אינם זוכים בניקוד) כבר בשנת 1921, והידע שנצבר באמצעותו מאז עצום, אך עדיין לא שלם. אפשר להרחיב את המשחק לכל כיוון שתבחרו: אפשר לחשוב על כל כמות של גדודים ולבחור איזה מספר של שדות קרב שתחפצו בו, אפשר לערוך טורנירים (והם אף נערכו) שבהם כל שחקן מתמודד זה אחר זה מול כל היתר או מול כמה שחקנים שייבחרו באקראי, אפשר ששלושה או יותר שחקנים יתמודדו סימולטנית בכל חזית וחזית, ואפשר לשנות את חלוקת הניקוד; אפשרי שיהיו גנרלים שיהיו להם יותר גדודים, ויהיו כאלה שיהיו להם פחות; אפשרי שבמהלך טורניר נעניש את הגנרלים המפסידים על-ידי צמצום מספר הגדודים שעומד לרשותם.

אתם מוזמנים למצוא את התחומים הרלבנטיים עבור משחק זה. למשל, יש החושבים שאילו אל גור היה מומחה למשחק זה, הוא לא היה מפסיד בבחירות לג'ורג' בוש.