נפלאות התבונה

בחציו הראשון של "נפלאות התבונה", סרטו של הבמאי רון הווארד על חייו של חתן פרס נובל לכלכלה לשנת 1994 ג'ון נאש, ישנה הסצנה הבאה: נאש וכמה מחבריו יושבים בפאב שאליו נכנסות נשים אחדות. אחת מהן בלונדינית יפה והיתר ברונטיות לא מצודדות במיוחד. הווארד לא סמך על האינטליגנציה של הצופים ולכן פער היופי בין הבלונדינית לברונטיות ניכר.

נאש וחבריו מחליטים מיד להתחיל עם הבלונדינית, אך לאחר שנייה של מחשבה, נאש עוצר אותם. "זו אסטרטגיה לא טובה", הוא אומר. "אם כולנו ניגש לבלונדינית רק נחסום זה את זה. היא הרי לא תצא מהפאב עם חמישה גברים, בוודאי לא בפגישה ראשונה. ואז נרצה לנסות את מזלנו אצל הברונטיות, וסביר שגם הן לא ירצו אותנו, שכן אף אחת לא אוהבת להיות הבחירה השנייה. האסטרטגיה הכי טובה במקרה הזה היא להתעלם מהבלונדינית היפה ולגשת מיד לברונטיות".

כך אמר ג'ון נאש, וחבריו השתכנעו. התוצאה הייתה שהבלונדינית היפה נשארה ללא מחזרים, ופנויה לפלירטוט שנאש תכנן מראש. הוא ניגש אליה, משוחח עמה, ואף מודה לה על משהו (אולי על הרעיון לנקודת שיווי המשקל שלו), אך עוזב אותה מיד. חבריו הכעוסים והמרירים אינם מבינים איך נפלו בפח הזה. מדוע עזב? נראה שהרעיון היה להציג את נאש כפרופסור מפוזר למתמטיקה שנשים מעניינות אותו הרבה פחות מנוסחאות וממשוואות. יש אף הגדרה שאומרת כי מתמטיקאי הוא מי שמצא משהו יותר מעניין מסקס. נו, טוב.

הסצנה אינה נמצאת בסרט במקרה - היא קשורה לתרומתו העיקרית של נאש לתורת המשחקים - Nash Equilibrium, או נקודת שיווי המשקל של נאש.

אם אוותר קצת על דיוק (דיוק הוא הדת הכמעט רשמית אצל המתמטיקאים, אך אני בפרישה), אוכל להסביר את הרעיון.

נקודת שיווי המשקל של נאש היא אוסף אסטרטגיות שבו שום שחקן לא משנה את האסטרטגיה שלו גם אילו היה יודע מראש אילו אסטרטגיות נוקטים השחקנים האחרים.

בסצנת הפאב, למשל, נקודת שיווי המשקל לפי נאש אינה מתקיימת; שהרי אם כל השחקנים מחליטים לא לגשת לבלונדינית, ואתה יודע זאת מראש, עדיף לך לא לנהוג כמותם, אלא לגשת ליפה הלא מחוזרת.

למה מאה תאואים בורחים מלביאה אחת?

הנה דוגמא אחרת. בסרט שראיתי במקרה באחד מערוצי המדע רואים לביאה שתוקפת עדר של כמאה תאואים אפריקאיים. ומה הם עושים? הפתעה: הם בורחים. כמו כל אדם סביר שאלתי את עצמי למה. הרי ברור שמאה תאואים חזקים הרבה יותר מלביאה אחת; מדוע אין הם תוקפים בחזרה והופכים את הלביאה לשטיח?

ואז נזכרתי בנאש. לברוח זו נקודת שיווי המשקל. נניח שכל התאואים בורחים מהלביאה, ורק תאו אחד, שנכנה אותו אפרים, אומר לעצמו - "מצלמים אותי עכשיו לטלוויזיה, רבים צופים בי (אפרים לא מעודכן בטבלת הרייטינג), ואני לא יכול לברוח - פשוט לא נעים". לכן מחליט אפרים שהוא מסתובב ותוקף לבדו את הלביאה.

האם אפרים קיבל החלטה נכונה? לא רק שאין זו החלטה נכונה, היא אף החלטתו האחרונה. אמנם ברגע הראשון הלביאה מופתעת מן המזון הנוסע אל צלחתה, אך לאחר כמה שניות מספק אפרים את כל אבות המזון. כאשר כל התאואים בורחים, האסטרטגיה הכי טובה היא לברוח איתם. כלומר, בריחה של כל התאואים היא נקודת שיווי המשקל של נאש.

בואו נהפוך את התמונה ונניח שכל התאואים תוקפים את הלביאה. התנהגות זו איננה נקודת שיווי המשקל של נאש, שכן אם ברור מראש שהתאו שלא יצטרף אליהם ירוויח, הם הרי מסתכנים בפציעה או בחבלה תוך כדי קרב; התאו תחמנוביץ', שאומר לחבריו התוקפים, "אוי, בדיוק נפתח לי השרוך, תתחילו בלעדיי", רק מרוויח.

הבריחה מהלביאה היא אפוא נקודת שיווי המשקל של נאש - כשכולם בורחים, כדאי לדבוק באסטרטגיה זו בתנאי שיכולת ההחלטה היא רק לגבי עצמך. התקפה על הלביאה אינה נקודת שיווי המשקל, שכן כאשר כולם תוקפים זו הזדמנות מצוינת לסדר את השרוכים, ולכן איננו רואים לעתים קרובות התקפות כאלה בטבע. אגב, התקפה של תאואים על לביאות מספר תוכלו לראות אם תחפשו ביוטיוב Battle at Kruger Park. כרגיל הכול יותר מורכב ממה שנדמה לנו.

שיווי המשקל של נאש הוא מין מצב יציב, שמרגע שמגיעים אליו נשארים בו לדורי דורות, אלא אם יש התערבות חיצונית ואין אפשרות להשפיע על השחקנים האחרים.

לדבריו של הכלכלן, זוכה הנובל לשנת 2007 רוג'ר מיירסון, שיווי המשקל של נאש הוא לא רק המושג החשוב ביותר של פתרון במשחקים לא שיתופיים, אלא גם אחד ההישגים האינטלקטואליים הגדולים ביותר של המאה ה-20. חשיבותו עבור הכלכלה ומדעי החברה, טוען מיירסון, דומה לחשיבות גילוי הדנ"א עבור הביולוגיה.

הקוראים הנאמנים של הטור מוזמנים לבדוק שאסטרטגיית בגידה היא שיווי המשקל של נאש ב"דילמת האסיר". ואכן, לעתים שיווי המשקל של נאש אינו מבטיח לשחקנים את התשלום המרבי; האסירים ירוויחו אם ראש המאפיה ידריך אותם לשתף פעולה, או במקרה שרלבנטי יותר לעסקים - אם חברות מתחרות ייצרו קרטל.

haims@globes.co.il