מהו הפרדוקס של קראיצ'יק ואיך זה משפיע על חייכם?

תארו לעצמכם את הסיטואציה הבאה: מושיטים לאדם שתי מעטפות ואומרים לו, "שמע, באחת המעטפות יש כפליים כסף מאשר באחרת. בחר, והכסף שתמצא יהיה שלך". עד כאן גם פשוט וגם משחק מענג.

ובכן, נניח שאני האדם שבו מדובר וכשפתחתי את המעטפה מצאתי 1,000 שקלים ושמחה גדולה הציפה את לבי. עוד חצי דקה עברה, וכבר אני שואל את עצמי - מעניין מה היה במעטפה שלא בחרתי; האם היה בה כפליים (2,000 שקלים, שמשמעותם כי בחירתי הייתה גרועה) או שמא הייתה בה מחצית (500 שקלים, שמעידים על בחירה מצוינת).

כיוון שאין לי דרך לדעת מה היה במעטפה שלא בחרתי אני שוקע במחשבות ושם לב שהממוצע של הסכום שיכול היה להיות במעטפה השנייה גדול מהסכום שקיבלתי - שהרי הממוצע של 2,000 ו-500 הוא 1,250, שהם יותר מה-1,000 שקיבלתי; כלומר, בחרתי לא טוב, ולמרות הפרס צער עמוק ממלא את לבי.

וכאן אנחנו מגיעים לנקודות המעניינות באמת. למעשה, כל סכום כסף שאמצא במעטפה יהיה נמוך מן הממוצע של המעטפה שלא נבחרה, יהיה הסכום במעטפה אשר יהיה. אם, למשל, מצאתי 400 שקלים, במעטפה האחרת יהיו 800 או 200, והממוצע עומד על 500. שוב יוצא שהממוצע של המעטפה שלא בחרתי גדול יותר מן הסכום שמצאתי.

כך יוצא שכל מעטפה שאקח, כל סכום כסף שאמצא - בסופו של דבר יצא שבחרתי לא טוב. במעטפה שלא נבחרה יהיה תמיד סכום ממוצע הגבוה ב-25% מן הסכום "שלי". האם ארצה להחליף את הבחירה אם אקבל הצעה כזו? האם ארצה להחליף מעטפה אחת באחרת עוד לפני שראיתי את סכום הכסף שבה? ואם אתם עונים על השאלה הזאת ב"כן" אתם עלולים להילכד בלולאה אין-סופית של החלפות. מה קורה כאן?

הפרדוקס של קראיצ'יק

הדוגמה שהצגתי היא פרדוקס די ידוע, שהוצג לראשונה על-ידי מתמטיקאי בלגי בשם מוריס קראיצ'יק (Kraitchik) ב-1943. בדוגמה שלו מסופר על שני בלגים המתווכחים למי מהם יש עניבה יפה יותר. הם מחליטים לקרוא לאיש שלישי, שישמש שופט. איש זה מתנה את הסכמתו בכך שהמנצח יעביר את העניבה שלו למפסיד כפרס ניחומים. לאחר מחשבה קצרה שני המתחרים מסכימים, מפני שכל אחד סובר שהסידור מיטיב עמו. איך בדיוק? שני המתמודדים אמנם יודעים שהם עלולים להפסיד עניבה, אך באותה נשימה גם מבינים שאם יפסידו בתחרות יזכו בעניבה טובה מזאת שהם עונבים.

גרסה אחרת של המשחק, שנולדה בשנת 1953, קשורה בתכולתם של הארנקים של אותם שני הווכחנים הבלגים, וגם היא מבית היוצר של קראיצ'יק. שני הבלגים מבוגרים בעשר שנים, והם אינם עונבים עניבות כיוון שקשה להם לנשום מרוב שוקולדים שאכלו בשנים הללו. הפעם הם מחליטים לבדוק למי מהם יש יותר כסף בכיסים. מי שיתברר כעשיר יותר מבין השניים יעביר את תכולת כיסו לידידו העני. אם לשניהם יש אותה כמות הכסף בכיסים לא קורה דבר. שוב נראה לשני הבלגים שהמשחק נוטה לטובתם. הרי אם מפסידים אז מפסידים את הכסף שיש בכיס, אך אם מרוויחים מקבלים סכום גבוה יותר ממה שיש בכיס.

יופי של משחק, לא? אולי שווה להסתובב גם ברחובות תל אביב ולהציע לעוברים ושבים לשחק?

מרטין גרדנר, הפרשן של "אליס בארץ הפלאות" ו"מבעד למראה", הפך בשנת 1982 את סיפור שני הבלגים לפופולרי כאשר כלל אותו בספרו Aha! Gotcha - מהספרים היפים שיש על חשיבה מתמטית, ספר שכתוב בצורה פשוטה ומשעשעת. גרסת המעטפות שבה פתחתי הופיעה לראשונה, ככל הנראה, אצל בארי ניילבאף (Nalebuff), מחשובי החוקרים בתורת המשחקים, במאמר ב-1989.

אולי תופתעו לשמוע שעד היום אין פתרון המוסכם על סטטיסטיקאים מאסכולות שונות. אחד הרעיונות הוא להסתכל על הממוצע הגיאומטרי במקום על הממוצע החשבוני הרגיל. עבור שני מספרים ממוצע גיאומטרי הוא פשוט שורש מן המכפלה שלהם. למשל, הממוצע הגיאומטרי של 4 ושל 9 הוא שורש ממכפלתם, כלומר 6.

אתם מוזמנים לבדוק (זה ממש קל) כי הממוצע הגיאומטרי של המעטפה שלא נבחרה שווה בדיוק לסכום שאותו מצאנו במעטפה שלנו. ההיגיון להשתמש בממוצע גיאומטרי נובע מניסוח השאלה. היא מנוסחת בשפה של כפל - "פי שניים", ולא בשפה של חיבור. אילו היו אומרים שבאחת המעטפות יש 10 שקלים יותר מאשר באחרת, והיינו משתמשים בממוצע רגיל, לא היה נוצר שום פרדוקס. הרי אם נגלה שבמעטפה שלנו יש X שקלים, אז באחרת יש או X פחות 10 או X ועוד 10, והממוצע של המעטפה שלא בחרנו שווה ל-X.

סטודנטים למתמטיקה שלמדו קורס בסיסי בהסתברות יגידו שאי-אפשר להגדיר פונקציית התפלגות אחידה על קבוצת המספרים הרציונליים. לא הבנתם את המשפט האחרון? לא נורא. הנה גרסה אשר אינה מחייבת ידע הסתברותי.

הגרסה הזאת שייכת ללוגיקן המפורסם, הקוסם, הפילוסוף והפסנתרן ריימונד סמוליאן. הפרדוקס מופיע בשתי גרסאות בספרו "השטן, קנטור ואין-סוף". בגרסה אחת הפרדוקס נוכח ובאחרת הוא נעלם.

א. נניח שבמעטפה שלך נמצאים B שקלים. אם תחליף אותה במעטפה השנייה או שתרוויח עוד B שקלים או שתפסיד חצי. המסקנה היא שתמיד שווה להחליף.

ב. נניח שבשתי המעטפות נמצאים C ושני C שקלים בהתאמה. אם תחליף בין המעטפות או שתרוויח C שקלים או שתפסיד C שקלים. הפעם הסכום שאותו אתה יכול להרוויח זהה לסכום שאותו אתה יכול להפסיד.

מבולבלים? גם אנחנו.

כך או אחרת, הרבה אנשים מחזיקים בדעה הפסימית שאין כאן שום פרדוקס - אלה אמנם החיים, ותעשה מה שתעשה - תמיד מוטב היה לעשות את ההפך.

* הכותב הוא ד"ר למתמטיקה ולהוראת המדעים ומומחה לתורת המשחקים

haims@globes.co.il