תורת המשחקים: שיוויון בנטל

הדיונים המתקיימים בימים אלה על הקיצוץ הגדול בתקציב המדינה העלו שוב לראש סדר היום את סוגיית השוויון בנטל. או במילים אחרות כמה צריך העשיר לתת (יש יאמרו להחזיר) לחברה ולמדינה לעומת אלה שחשבון הבנק שלהם מועשר פחות. הנה משחק קצר שנותן לא מעט חומר למחשבה.

ארבעה חברים - אבי, בן, גד ודן - רכשו לעצמם מטוסים פרטיים. הם אף החליטו לבנות שדה תעופה פרטי, אשר ישמש אך ורק את ארבעתם. דן הוא האביון שבחבורה ולכן רכש את המטוס הקטן ביותר; מטוסו של גד קצת יותר גדול מזה של דן, מטוסו של בן קצת יותר גדול מזה של גד, ואילו אבי נסחף לגמרי וקנה לעצמו איירבוס A380 דו-קומתי עם בריכת שחייה, חדר כושר, ספא אינדונזי, ספרייה ויקטוריאנית ועם אולם קולנוע הולוגרמי, כל זה במחיר מבצע של 240 מיליון דולרים בלבד.

בניית שדה תעופה עם מסלול הנחיתה עבור מטוסו הגדול של אבי עולה 200 אלף דולרים. כל המטוסים יוכלו להשתמש במסלול זה. לעומת זאת, אילו דן היה בונה מסלול עבור מטוסו הזעיר, עלותו הייתה מסתכמת ב-40 אלף דולרים בלבד. עלות מסלול עבור מטוסו של גד הנה 100 אלף ושל בן 120 אלף.

השאלה שנשאלת היא זו: כיצד אמורים החברים לחלק את העלות של 200 אלף הדולרים הנדרשים לבניית שדה תעופה שיתאים לכולם?

בואו נחזור שוב על העלויות אילו היו החברים בונים את השדה אך ורק לעצמם: דן 40,000, גד 100,000, בן 120,000, אבי 200,000.

אבי, בהיותו העשיר והזקן שבחבורה, הציע לחלק את העלויות באופן יחסי, כלומר אבי ישלם פי שניים מגד (200/100) ופי חמישה מדן (200/40), בן ישלם פי שלושה מדן (120/40) וכך הלאה. ומובן שסך התשלומים אמור להסתכם ל-200.

על-פי חלוקה זו דן ישלם כ-17,391; גד 43,478; בן 52,175 ואילו אבי יצטרך להיפרד מ-86,956 דולרים (קצת עיגלתי פינות על מנת שהסיכום אכן יהיה 200 אלף דולרים).

לכל החברים, פרט לדן, החלוקה נראתה הוגנת למדי. דן, שנכנס לחובות כבר בקניית המטוס, החליט להציע שיטה שתחסוך לו. "תראו", הוא אומר, "לו הייתם קונים מטוס קטן ונחמד כמו שלי, כל בניית השדה הייתה עולה לנו 40 אלף דולרים. לאור המצב הזה אבי היה יכול להציע שכל הבנייה תהיה על חשבונו - הרי אם הוא היה בונה רק עבור מטוסו, ממילא היה נפרד מ-200 אלף דולרים. אנחנו בסך-הכול עוזרים לו מאוד ביישום הפרויקט.

אבל אני לא מצפה למחוות גדולות מאנשים עשירים מדי. אני רק רוצה להציע חלוקה הגיונית והוגנת יותר, שכל מי שלמד תורת המשחקים והתעמק בערך שפלי (Shapley Value) מכיר את יתרונותיה. לויד שפלי זכה בפרס נובל לכלכלה ממש לא מזמן, וכדאי לדעתי להקשיב לו. כך או אחרת, מה שאני רוצה לומר זה שבכל מקרה בקטע המסלול שלו זקוק מטוסי משתמשים כולנו, ולכן את ה-40 אלף הדולרים האלה יש לחלק בין ארבעתנו שווה בשווה, כלומר עשרת אלפים דולרים לאיש.

קטע נוסף, שלו זקוק מטוסו של גד ומשתמשים בו גם אבי ובן מוסיף 60 אלף לעלות (המחיר קופץ מ-40 אלף ל-100 אלף). את ה-60 אלף הנוספים יש לחלק שווה בשווה בין שלושתכם, כלומר 20 אלף לאיש. את התוספת הנוספת של 20 אלף דולרים לבניית תוספת מסלול שלה זקוקים אבי ובן יש לחלק ביניהם. והקטע האחרון, שלו זקוק אך ורק המטוס של אבי, מוסיף 80 אלף דולרים (העלות עולה מ-120 ל-200 אלף), יהיה על חשבונו של אבי בלבד".

הנה סיכום של ההצעה:

ההצעה של דן מיטיבה לא רק איתו, אלא גם עם גד ועם בן, אשר למעשה מרוויחים מן הסידור אף יותר ממנו. נערכת הצבעה דמוקרטית, וברוב של שלושה נגד אחד מתקבלת הצעתו של דן. אנו עדים כאן ל"צדק חברתי" במיטבו - אבי האוליגרך הולך לשלם יותר ממחצית מעלות הבנייה.

העניין הוא שאבי לא באמת הולך לשלם. הוא מאיים כי אם לא תתקבל הצעתו לבצע חלוקה פרופורציונלית, שזה לדעתו הדבר ההגיוני היחיד, הוא יפרוש מן החברות וישאיר את בניית שדה התעופה לשלושת החברים העשירים פחות.

שלושת החברים מבקשים כמה דקות לשקול את צעדיהם. אם אבי יפרוש, עלות שדה התעופה תהיה 120 אלף דולרים, ובעלות זו הם יצטרכו להתחלק בדרך זו או אחרת.

בתנאי ההסכם שאבי הציע יהיה על שלושתם לשלם 113,044 דולרים, תוצאה המתקבלת כאשר מחסירים מ-200 אלף את חלקו של אבי - 86,956 דולרים אמריקאיים.

האם ייכנעו ללחץ האוליגרך או יעמדו על שלהם?

דן שוב לקח את היוזמה לידיו, והציע שיבדקו מה יקרה אם חלוקת ה-120 אלף תתבצע על-פי שיטתו, אשר אומצה על-ידם בהתלהבות גדולה.

האם אתם מנחשים את התוצאה? אתן רמז - בן הוא האוליגרך החדש.

בואו נחשב את העלויות:

אנו רואים שאם החלוקה תתבצע על-פי המודל של דן, גם הוא וגם גד יעדיפו אותו על-פני ההסכם שהציע אבי; בן, מצד שני, עומד להפסיד מחלוקה זו, אשר אינה מיטיבה עם העשיר שבחבורה.

האם בן יפרוש? האם יצטרף לאבי? אילו החבורה הייתה פונה לבוררות, מה היו תוצאותיה? כיצד קשורה שאלה זו למריבות הכה שכיחות בין שכנים שרוצים לבנות מעלית בבניין מגוריהם? כיצד קשורה סוגיה זו לדילמות שעומדות בפני ההנהגה הכלכלית שלנו? לקורא הנבון יש הכלים לערוך את שיקוליו.